数学

　　

　　郭守敬参与制定的《授时历》除了在天文数据上的进步之外，在计算方法方面也有重大的创造和革新。主要特点有：

　　

　　废除上元积年：改用至元十八年（1281年）天正冬至（即至元十八年开始之前的那个冬至时刻，实际上在至元十七年内）为其主要起算点。其他各种天文周期的历元，均推算出与该冬至时刻的差距，称为相关的“应”。由此形成一个天文常数系统。在这个天文常数系统中，《授时历》提出了七应（气应、转应、闰应、交应、周应、合应、历应）。

　　

　　以万分为日法：古代的天文数据都以分数形式来表示。但这种分数方式难以立即比较数值的大小，在历法计算中又需作繁杂的通分运算，很不方便，而且随着天文数据测定的进步，古人实际上已逐渐明白，无法用一个分数来完全准确地表达这个数据的值。因此，从唐代开始就有人企图打破分数表达法的传统。南宫说于唐中宗神龙元年（705年）编的《神龙历》即以百进制为天文数据的基础。曹士蒍于唐德宗建中年间（780年—783年）编的《符天历》更明确提出以万分为日法。但《神龙历》未获颁行。《符天历》只行于民间，被官方天文学家贬称为小历。到《授时历》中始以宏大的革新精神，断然采用以万分为日法的制度，使天文数据的表达方式走上了简洁合理的道路。

　　

　　发明正确的处理三次差内插法方法：自隋代刘焯以来，天文学家使用二次差内插法来计算日、月等各种非均速的天体运动。但实际上唐代天文学家已发现，许多运动用二次差来计算是不够精确的，必须用到三次差，但关于三次差内插公式却一直没有找到，只能用一些近似公式来代替。《授时历》发明了称之为招差法的方法，解决了这个三百多年未能解决的难题。而且，招差法从原理上来说，可以推广到任意高次差的内插法，这在数据处理和计算数学上是个很大的进步。

　　

　　发明弧矢割圆术：天文学上有所谓黄道坐标、赤道坐标、白道坐标等等的球面坐标系统。现代天文学家运用球面三角学可以很容易地将一个坐标系统中的数据换算到另一个系统中去。中国古代没有球面三角学，古人是采用近似的代数计算方法来解决问题的。《授时历》采用的弧矢割圆术，将各种球面上的弧段投射到某个平面上，利用传统的勾股公式，求解这些投影线段之间的关系。再利用宋代沈括发明的会圆术公式，由线段反求出弧段长股关系的方法是完全准确的。它们与现今的球面三角学公式在本质上是一致的。

　　

　　以上这些计算方法上的成就，主要应当归功于王恂，但是，其他学者也为此付出了劳动。特别由于郭守敬是《授时历》的最后整理定稿者，使这些突出的天文学、数学成就得彰后世，故其功不可没。

　　

　　光学

　　

　　郭守敬在创造的景符、仰仪等天文仪器中反复运用了针孔成象原理，这在中国光学史上也是比较突出的成就，体现了中国古代较高的光学知识应用能力。

　　

　　水利学

　　

　　治水经验

　　

　　郭守敬治水成功的经验有很多，主要有三方面：

　　

　　郭守敬的正确指导思想，是治水成功的前提条件。郭守敬在治水过程中，始终贯彻灌溉、防洪、漕运三位一体的指导思想，取得了良好的效果。

　　

　　郭守敬躬行实践的精神，是治水成功的决定条件。郭守敬一生从事兴修水利事业，不畏艰难，注重调查，勤于实践，为后人所推崇。

　　

　　郭守敬执着进取的精神，是治水成功的重要条件。郭守敬在从事水利和建设过程中，具有不怕失败、锲而不舍、执着进取的精神[，使他在水利工程建设上取得了显着的成就。

　　

　　天文学

　　

　　编制《授时历》

　　

　　天文观测

　　

　　郭守敬运用他改进、创造的天文仪器，进行了许多精密的天文观测，从而使《授时历》的编制有了可靠的观测基础。他所从事和领导的观测项目甚多，如冬至时刻、二十八宿距度和星表、四海测验、黄赤交角以及一些历元时刻的测定，其中大部分数据都是中国古代历法史上最精确的，或近于最佳的。其中较为知名的即为四海测验。

　　

　　四海测验

　　

　　至元十六年（1279年），郭守敬向元世祖忽必烈提议：如今元朝疆域比之前大了很多，不同地区日出日落昼夜长短时间不同、各地的时刻也不同，旧的历法已经不适用了，因此需要进行全国范围的天文观测以编制新的历法。忽必烈接受了郭守敬的建议，派监候官十四人分道而出，分别在二十七个地方进行天文观测，后世称之为“四海测验”。

　　

　　郭守敬从上都（今多伦）、大都（今北京）开始历经河南转抵南海跋涉数千里，亲自参加了这一路的测验。在其中的6个地点，特别测定了夏至日的表影长度和昼、夜的时间长度；测出的北极出地高度平均误差只有0.35；新测二十八宿距度，平均误差还不到5'；测定了黄赤交角新值，误差仅1'多；取回归年长度为365.2425日，与现今通行的公历值完全一致。这些观测的结果，都为编制全国适用的历法提供了科学的数据。

　　

　　编制历法

　　

　　在《授时历》创作中，郭守敬虽然有专业分工，他负责制器和测验，但与整个创作中的其他部分以及总体工作，并非全然无关。《授时历》的编制是一件规模较大的集体工作。工作中既有专人分工负责，也有重大问题的集体讨论。《元史》作者除了在王恂、郭守敬的列传中记叙了改历之事外，还在许衡、杨恭懿等人的列传中也作了相当篇幅的叙述。这些叙述中都透露出《授时历》编撰工作的集体性。按照当代科学史家钱宝琮的观点，甚至可认为，早在刘秉忠、张文谦、张易等人同学的时代，他们就对历法问题有过许多探讨。

　　

　　在估价集体工作的体制下郭守敬的作用时，应注意的是：一方面，郭守敬所分工负责的任务一定会吸收别人的智慧和劳动。例如，关于全天恒星星表的测定就不是哪一个人所能独力完成的。至于在测定七应的工作中，也离不开历法的推算和对数据的处理。另一方面，则应该肯定在整个历法的创新和改革中，也凝结着郭守敬的贡献和智慧。在新历颁行后不久主要骨干王恂等人因先后去世或辞归，唯剩下郭守敬继续工作，一人整理了《授时历》全部文稿。因此郭守敬功不可没。这也就是后人把《授时历》的成就都归于郭守敬的重要原因。

　　

　　《授时历》推算出的一个回归年为365.2425天，即365天5小时49分12秒，与地球绕太阳公转的实际时间只差26秒钟，和现在世界上通用的《格里高利历》（俗称的阳历）的周期一样，但《格里高利历》是1582年（明万历十年）开始使用，比郭守敬的《授时历》晚三百多年，在国际上产生了一定的影响。

　　

　　地理学

　　

　　郭守敬曾提出，以海平面作为基准，比较大都（今北京市）和汴梁（今河南省开封市）两地地形高下之差，这是地理学上的一个重要概念“海拔”的创始。

　　

　　郭守敬在西夏水利工程结束后曾溯黄河之流而上，探寻黄河的发源地。由此他成为以科学考察本身为目的，专程探求黄河河源的先驱者。他的探查结果没有记载流传下来。现今传世的第一部河源考察成果专着为都实所撰的《河源记》，此是至元十七年（1280）都实奉忽必烈之命专程考察河源的纪实。先前郭守敬的考察对都实肯定有相当的影响。

　　

　　改制发明

　　

　　天文仪器制造

　　

　　郭守敬为完成《授时历》工作创制了十二件天文台上用的仪器，四件可携至野外观测用的仪器，其名载于齐履谦所撰《知太史院事郭公行状》中，分别为简仪、高表、候极仪、浑天象、玲珑仪、仰仪、立运仪、证理仪、景符、窥几、日月食仪以及星晷定时仪十二种（但史书记载中合计仪器总数为十三件，有的研究者认为末一种或为星晷与定时仪两种）。而四件可携式仪器，齐履谦也在《知太史院事郭公行状》全部罗列，分别为正方案、丸表、悬正仪、座正仪。这十六件仪器中，有九件在《元史·天文志》有较详细记载：简仪、候极仪、立运仪、浑象、仰仪、高表、景符、窥几和正方案。其中仅正方案被称为可携式仪器。其中主要的是简仪、赤道经纬和日晷三种仪器结合利用，用来观察天空中的日、月、星宿的运动，改进后的仪器不受仪器上圆环阴影的影响。高表与景符是一组测量日影的仪器，是郭守敬的创新，把过去的八尺改为四丈高表，表上架设横梁，石圭上放置景符透影和景符上的日影重合时，即当地日中时刻，用这种仪器测得的是日心之影，较前测得的日边之影更加精密，这是时刻仪器上一个很大的改进。

　　

　　而在创编《授时历》工作前后，郭守敬还制造并创作了一些天文仪器，其中多数是计时器或与计时器有关的仪器。工作前后制作的仪器有：

　　

　　宝山漏。

　　

　　大明殿灯漏（又称七宝灯漏）。

　　

　　灵台水运浑天漏。

　　

　　柜香漏。

　　

　　屏风香漏。

　　

　　行漏。

　　

　　其中的大明殿灯漏是中国第一架与天文仪器相分离的独立的计时器，在中国钟表发展史上具有重要的意义。

　　

　　综观郭守敬一生制造的天文仪器，大多具有设计科学、结构巧妙、制造精密、使用方便的特点，而且绝大多数都注意到仪器安装的校正装置。他的创作博得同时代和后世的高度赞扬。王恂是很高傲的人，每见到郭守敬的新创作，皆为之心服。他所制造的部分仪器，后又于清初运回北京。后来在十八世纪康熙、乾隆年间的几次工程中，把郭守敬的作品都当作铜材熔毁。

　　

　　其它

　　

　　郭守敬在简仪上设计的赤道经纬仪是世界上最早的赤道装置，欧洲直到公元1598年才由丹麦天文学家第谷发明类似的装置。

　　

　　郭守敬在简仪中使用了滚柱轴承，以使简仪南端的动赤道环可以灵活地在定赤道环之上运转。西方的类似装置是在二百年后才由意大利科学家达·芬奇发明的。